Formelsammlung
Aktuarielle Kernformeln fuer IFRS 17, Solvency II, DAV-Sterbetafeln und datierte Referenzannahmen fuer die oeffentliche Sandbox.
IFRS 17 — Allgemeines Bewertungsmodell (GMM)
Erfüllungszahlungsströme (FCF)
FCF = PV(Leistungen) + PV(Kosten) − PV(Prämien)Positive FCF bedeuten einen Netto-Kassenabfluss für den Versicherer. Quelle: IFRS 17.38.
Risikoanpassung (RA)
RA = VaRα(FCF) − E[FCF] oder RA = CoC × Σ SCRt · vtKompensation für nicht-finanzielle Risiken per IFRS 17.37. CoC = 6 % (übliche Praxis).
Vertragliche Servicemarge (CSM)
CSM₀ = max(0, −(FCF + RA))Nichtnegativ — belastende Verträge erzeugen eine Verlustkomponente, keine negative CSM.
Verlustkomponente (LC)
LC = max(0, FCF + RA)Sofort in der GuV erfasst für belastende Verträge (IFRS 17.47).
CSM-Überleitung (IFRS 17.44)
CSM_close = CSM_open + Neugeschäft + Zinsen ± Schätzungsänderungen − AuflösungVereinfachte Darstellung der in der Engine verwendeten Roll-forward-Logik mit Lock-in-Zins und Deckungseinheiten.
CSM-Auflösung
Auflösung_t = CSM_t × (CUt / Σ CU)CU = Deckungseinheiten (coverage units); proportional zur erbrachten Versicherungsleistung.
Solvency II — Standardformel
Basis-SCR (BSCR)
BSCR = √( Σᵢ Σⱼ ρᵢⱼ · SCRᵢ · SCRⱼ )Korrelationsmatrix gemäß Anhang IV der Delegierten Verordnung (EU) 2015/35.
Solvenzkapitalanforderung (SCR)
SCR = BSCR + Op_SCR − LAC_DTBetriebsrisiko (Op) wird linear addiert, nicht in die Korrelationsmatrix einbezogen (Art. 103 DelVO).
Mindestkapitalanforderung (MCR)
MCR = max(MCR_floor, min(0,45 × SCR, max(0,25 × SCR, MCR_linear)))Korridor: 25 %–45 % des SCR. Absolute Untergrenze für Leben: 3,7 Mio. EUR (Art. 248–250).
Verlustausgleichsfähigkeit latenter Steuern (LAC DT)
LAC_DT = min(DTA × Steuersatz, 15 % × BSCR)Begrenzt auf 15 % des BSCR.
MCR Linear (Leben)
MCR_lin = 0,045 × TP_guar + 0,0085 × TP_other + 0,0015 × KaRTP = versicherungstechnische Rückstellungen; CAR = Kapital im Risiko. Faktoren gem. Art. 248 Abs. 2 DelVO (EU) 2015/35 (Leben).
Solvenzquote
Solvenzquote = Anrechnungsfähige Eigenmittel / SCRAufsichtsrechtliche Mindestanforderung: 100 %. Zielquote typisch ≥ 150 %.
Sterblichkeit — DAV-Sterbetafeln
Sterbewahrscheinlichkeit qₓ
qₓ = Anzahl Todesfälle im Alter x / Bestand zu Beginn des JahresDAV 2008 T: Risikolebensversicherung (Erststerblichkeit). DAV 2004 R: Rentenversicherung (Überlebensbonus).
Überlebenswahrscheinlichkeit ₜpₓ
ₜpₓ = Π_{k=0}^{t−1} (1 − qₓ₊ₖ)Grundlage für Barwertberechnungen von Leistungen und Prämien.
Fernere Lebenserwartung eₓ
eₓ = Σ_{t=1}^{∞} ₜpₓCurtate expectation of life. Für praktische Berechnungen: Summe über t bis ₜpₓ < 0,001.
Versicherungsmathematische Standardnotation
Reine Erlebensfallleistung nE_x
nE_x = v^n × ₙpₓBarwert einer Zahlung 1 in t = n nur bei Erleben. In der Engine jetzt als eigene Hilfsfunktion implementiert.
Befristete Todesfallversicherung nA_x
nA_x = Σ_{t=1}^{n} [ v^t × ₜ₋₁pₓ × qₓ₊ₜ₋₁ ]Diskrete Jahresleistung, zahlbar am Ende des Todesjahres.
Lebenslange Todesfallversicherung A_x
A_x = Σ_{t=1}^{ω−x+1} [ v^t × ₜ₋₁pₓ × qₓ₊ₜ₋₁ ]In der Sandbox mit endlichem Tabellenalter omega. Das Schlussjahr absorbiert den Restbestand.
Leibrente nachschüssig a_x
a_x = Σ_{t=1}^{ω−x} [ v^t × ₜpₓ ]Jährliche Zahlung am Ende jedes Jahres, solange die versicherte Person lebt.
Leibrente vorschüssig ä_x
ä_x = Σ_{t=0}^{ω−x} [ v^t × ₜpₓ ]Erste Zahlung sofort in t = 0. Entspricht im diskreten Modell 1 + a_x.
Diskontierung — Datierte EIOPA-Referenzannahmen
Diskontfaktor v(t)
v(t) = 1 / (1 + r_t)^tr_t = Spot-Rate fuer Laufzeit t aus der im Rechner hinterlegten datierten Referenzbasis.
Ultimate Forward Rate (UFR)
UFR_EUR = 3,30 % (gültig seit 01.01.2024)Im Yield-Curve-Modul hinterlegter Referenzstand. UFR wird von EIOPA festgelegt; die Darstellung im Rechner ist datiert.
Volatilitätsanpassung (VA)
r_VA(t) = r_RFR(t) + VAIm Referenzstand Dezember 2024 ist für Deutschland im Rechner eine VA von 23 bp hinterlegt. Maßgeblich sind die jeweiligen EIOPA-Monatsveröffentlichungen.
bAV — Pensionsverpflichtungen
Defined Benefit Obligation (DBO) — IAS 19.67
DBO = R_proj × ä × HBL × INV × (T_past / T_total) × v^nR_proj = projizierte Jahresrente bei Pensionseintritt. ä = Rentenbarwertfaktor (annuity-due). v^n = Diskontfaktor über n Jahre bis Rente.
Projizierte Jahresrente
R_proj = R0 (Festbetrag) | gehaltsabhängig: Gehalt_proj × pension% × T_totalIAS 19: Salary_proj wächst mit Gehaltstrend. Bei Festbetragszusagen wird die Rente in dieser vereinfachten Darstellung nicht bis Rentenbeginn projiziert.
Rentenbarwertfaktor (annuity-due)
ä_x = 1 + Σ_{t=1}^{50} [ ₜpₓ × (1 + trend)^t / (1 + i)^t ]Erste Zahlung bei Rentenbeginn (t=0). Überlebenswahrscheinlichkeiten aus DAV 2004 R (Näherung).
Erdienungsquote (Attribution Ratio) — IAS 19.70
q = T_past / T_totalLineare Verteilung der Leistung über die Dienstzeit (Projected Unit Credit).
Zinsaufwand (Net Interest)
Zinsaufwand = DBO × iIAS 19: i = Rendite hochwertiger Unternehmensanleihen (AA). HGB: Bundesbank-Durchschnittszins (§ 253 Abs. 2).
PSVaG-Beitrag (Näherung)
PSVaG ≈ DBO_nach_Fluktuation × Beitragssatz (2025: 1,2 ‰)Beitragssatz ist jährlich variabel; Darstellung dient nur der groben Orientierung.