Formelsammlung

Aktuarielle Kernformeln für IFRS 17 GMM, Solvency II Standardformel, DAV-Sterbetafeln und EIOPA-Zinskurve — mit Herleitung und Normbezug.

IFRS 17 — Allgemeines Bewertungsmodell (GMM)

Erfüllungszahlungsströme (FCF)

FCF = PV(Leistungen) + PV(Kosten) − PV(Prämien)

Positive FCF bedeuten einen Netto-Kassenabfluss für den Versicherer. Quelle: IFRS 17.38.

Risikoanpassung (RA)

RA = VaRα(FCF) − E[FCF] oder RA = CoC × Σ SCRt · vt

Kompensation für nicht-finanzielle Risiken per IFRS 17.37. CoC = 6 % (übliche Praxis).

Vertragliche Servicemarge (CSM)

CSM₀ = max(0, −(FCF + RA))

Nichtnegativ — belastende Verträge erzeugen eine Verlustkomponente, keine negative CSM.

Verlustkomponente (LC)

LC = max(0, FCF + RA)

Sofort in der GuV erfasst für belastende Verträge (IFRS 17.47).

CSM-Überleitung (IFRS 17.44)

CSM_close = CSM_open + Neugeschäft + Zinsen ± Schätzungsänderungen − Auflösung

Lock-in-Rate: Zinssatz zum Zeitpunkt der Ersterfassung je Kohorte.

CSM-Auflösung

Auflösung_t = CSM_t × (CUt / Σ CU)

CU = Deckungseinheiten (coverage units); proportional zur erbrachten Versicherungsleistung.

Solvency II — Standardformel

Basis-SCR (BSCR)

BSCR = √( Σᵢ Σⱼ ρᵢⱼ · SCRᵢ · SCRⱼ )

Korrelationsmatrix gemäß Anhang IV der Delegierten Verordnung (EU) 2015/35.

Solvenzkapitalanforderung (SCR)

SCR = BSCR + Op_SCR − LAC_DT

Betriebsrisiko (Op) wird linear addiert, nicht in die Korrelationsmatrix einbezogen (Art. 103 DelVO).

Mindestkapitalanforderung (MCR)

MCR = max(MCR_floor, min(0,45 × SCR, max(0,25 × SCR, MCR_linear)))

Korridor: 25 %–45 % des SCR. Absolute Untergrenze für Leben: 3,7 Mio. EUR (Art. 248–250).

Verlustausgleichsfähigkeit latenter Steuern (LAC DT)

LAC_DT = min(DTA × Steuersatz, 15 % × BSCR)

Begrenzt auf 15 % des BSCR.

MCR Linear (Leben)

MCR_lin = 0,037 × TP_guar + 0,0025 × TP_other + 0,0015 × KaR

TP = versicherungstechnische Rückstellungen; CAR = Kapital im Risiko (Art. 250).

Solvenzquote

Solvenzquote = Anrechnungsfähige Eigenmittel / SCR

Aufsichtsrechtliche Mindestanforderung: 100 %. Zielquote typisch ≥ 150 %.

Sterblichkeit — DAV-Sterbetafeln

Sterbewahrscheinlichkeit qₓ

qₓ = Anzahl Todesfälle im Alter x / Bestand zu Beginn des Jahres

DAV 2008 T: Risikolebensversicherung (Erststerblichkeit). DAV 2004 R: Rentenversicherung (Überlebensbonus).

Überlebenswahrscheinlichkeit ₜpₓ

ₜpₓ = Π_{k=0}^{t−1} (1 − qₓ₊ₖ)

Grundlage für Barwertberechnungen von Leistungen und Prämien.

Fernere Lebenserwartung eₓ

eₓ = Σ_{t=1}^{∞} ₜpₓ

Curtate expectation of life. Für praktische Berechnungen: Summe über t bis ₜpₓ < 0,001.

Gompertz-Sterblichkeitsmodell

qₓ₊ₜ ≈ q₀ · exp(β · t)

β ≈ 0,085 (Alterskorrektur). Näherung für Lebenserwartungsprojektion.

Diskontierung — EIOPA Zinskurve

Diskontfaktor v(t)

v(t) = 1 / (1 + r_t)^t

r_t = Spot-Rate für Laufzeit t aus der EIOPA RFR-Kurve.

Ultimate Forward Rate (UFR)

UFR_EUR = 3,45 % (2024)

UFR wird jährlich von EIOPA festgelegt. Konvergenzpunkt der Smith-Wilson-Extrapolation bei 60 Jahren.

Volatilitätsanpassung (VA)

r_VA(t) = r_RFR(t) + VA

VA_DE ≈ 19 bp (repräsentativ). Länderspezifisch, monatlich von EIOPA veröffentlicht.

Hinweis: Diese Formelsammlung dient zu Bildungszwecken. Maßgeblich sind stets die aktuellen Fassungen von IFRS 17, der Solvency-II-Richtlinie (2009/138/EG) sowie der Delegierten Verordnung (EU) 2015/35.